Question

9．如图，E是正方形ABCD中CD边上的一点，AE交对角线BD于点P，过点P作AE的垂线交BC于点G，连AG交对角线BD于点Q．
（1）求证：AP=PG．
（2）线段BQ、PQ、PD有何数量关系？证明你的结论；
（3）若AB=4，过点G作GF⊥BD于F，直接写出GF+PD=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△AMP≌△PNG，得AP=PG；
（2）如图2，作BM⊥BD，BM=PD，连AM，依次证明△ADP≌△ABM，△MAQ≌△PAQ，得出△MBQ是直角三角形，根据勾股定理得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，先利用勾股定理求BD的长，则可得DH的长，证明△APH≌△PGF，FG=PH，则GF+PD=PD+PH=DH=2$\sqrt{2}$．

解答 证明：（1）如图1，过P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴MN⊥BC，
∴∠AMP=∠GNP=90°，
∴∠PGN+∠GPN=90°，
∵AE⊥PG，
∴∠APG=90°，
∴∠APM+∠GPN=90°，
∴∠PGN=∠APM，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=45°，
∴△PMD是等腰直角三角形，
∴PM=DM，
∵AD=CD=MN，
∴AD-DM=MN-PM，
即AM=PN，
∴△AMP≌△PNG，
∴AP=PG；

（2）结论：PQ²=PD²+BQ²．
作BM⊥BD，BM=PD，连AM，MQ，如图2，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABM=45°，
∴∠ABM=∠ADB，
∵AB=AD，
∴△ADP≌△ABM（SAS），
∴AM=AP，∠BAM=∠DAP，
由（1）得：AP=PG，
∵AP⊥PG，
∴∠PAQ=45°，
∴∠DAP+∠BAQ=∠BAM+∠BAQ=45°，
即∠MAQ=45°，
易证△MAQ≌△PAQ（SAS），
∴MQ=PQ，
∵∠MBQ=∠MBA+∠ABD=90°，
∴MQ²=BM²+BQ²，
∴PQ²=PD²+BQ²．
（3）如图3，过A作AH⊥BD于H，
∵AB=AD=4，∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∵∠AHP=∠GFP=90°，
∴∠HAP+∠APH=90°，
∵∠APH+∠GPF=90°，
∴∠HAP=∠GPF，
∵AP=PG，
∴△APH≌△PGF，
∴FG=PH，
∴GF+PD=PD+PH=DH=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质，是正方形中常考题型，难度适中，本题的三问证明三角形全等是关键．