Question

6．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，AB+CD=AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．

Answer 1

分析 （1）延长AO交CD的延长线于E．只要证明△ABO≌△EDO，推出AO=OE，AB=DE，由AC=AB+CD，CE=CD+DE=CD+AB，推出CA=CE，由OA=OE，推出OC平分∠ACD．
（2）由CA=CE，推出∠CAE=∠E，由∠E=∠BAE，推出∠CAO=∠OAB，即OA平分∠CAB，根据等腰三角形三线合一即可证明OC⊥OA．

解答 证明：（1）延长AO交CD的延长线于E．
∵∠D=∠ABD=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAO=∠E，
在△ABO和△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠E}\\{∠AOB=∠EOD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△EDO，
∴AO=OE，AB=DE，
∵AC=AB+CD，CE=CD+DE=CD+AB，
∴CA=CE，∵OA=OE，
∴OC平分∠ACD．

（2）∵CA=CE，
∴∠CAE=∠E，
∵∠E=∠BAE，
∴∠CAO=∠OAB，
∴OA平分∠CAB，
∵CA=CE，OA=OE，
∴CO⊥AO．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．