Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，以BC为斜边向外作等腰Rt△DBC，E为CD的中点，AE交BC于F，则EF的长度为$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 过点D、E分别作DG⊥CB，EH⊥CB，垂足分别是G、H，由等腰三角形的性质可知：FH=$\frac{1}{2}$DG=1，由于AC∥EH，从而可知△ACF∽△EFH，利用相似的性质即可求出FH的值，利用勾股定理即可求出EF的值．

解答 解：过点D、E分别作DG⊥CB，EH⊥CB，垂足分别是G、H，
在等腰Rt△DBC，
CG=DG=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵E是CD的中点，EH∥DG，
∴EH是△CDG的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$DG=1，
∴CH=EH=1，
∵CA∥EH，
∴△ACF∽△EFH
∴$\frac{AC}{EH}$=$\frac{CF}{FH}$，
设CF=2x，
∴FH=x，
∴2x+x=1，
∴x=$\frac{1}{3}$
在Rt△FEH中，
由勾股定理可知：EF=$\frac{\sqrt{10}}{3}$
故答案为：$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$；

点评 本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是作出DG⊥CB，EH⊥CB，本题属于中等题型．