Question

如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，AC切⊙O于E，CB⊥AB于B，若AE：EC=2：1，DE+BE=4+2

2

，求S_△ABC．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OE，设AE=2t，EC=t，由CB⊥AB得到CB于⊙O相切，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出AB=2

2

t，由于AC切⊙O于E，根据切线长定理得CB=CE=t，根据切线性质得OE⊥AE；再根据圆周角定理由BD是⊙O的直径得到∠DEB=90°，则∠3+∠4=90°，加上∠1+∠2=90°，∠2=∠3，利用等量代换可得∠1=∠4，于是可判断△AED∽△ABE，利用相似比得AD=

2

t，BE=

2

DE，而DE+BE=4+2

2

，则可计算出DE=2

2

，BE=4，然后在Rt△DBE中，根据勾股定理计算出DB=2

5

，利用AB=AD+DB得到2

2

t=

2

t+2

5

，解得t=

10

，再根据三角形面积公式得到S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

•2

2

t•t=

2

t²=10

2

．

解答：解：连结OE，如图，
设AE=2t，EC=t，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC=90°，CB于⊙O相切，
在Rt△ABC中，AB=

AC2-BC2

=2

2

t，
∵AC切⊙O于E，
∴CB=CE=t，OE⊥AE，
又∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
而∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠EAD=∠BAE，
∴△AED∽△ABE，
∴

AE

AB

=

DE

BE

=

AD

AE

，即

2t

2 2 t

=

DE

BE

=

AD

2t

，
∴AD=

2

t，BE=

2

DE，
∵DE+BE=4+2

2

，
∴DE+

2

DE=4+2

2

，解得DE=2

2

，
∴BE=4，
在Rt△DBE中，DB=

DE2+BE2

=2

5

，
∵AB=AD+DB，
∴2

2

t=

2

t+2

5

，解得t=

10

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

•2

2

t•t=

2

t²=

2

×（

10

）²=10

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和勾股定理．