Question

如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，O），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（3）如图②，若点G（2，n）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，设P点横坐标为，△APG的面积为S，试确定S与t之间的函数关系式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由B点的坐标为（3，O），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

，可求得点C与点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）首先根据题意画出图形，然后分别从当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），与当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），去分析求解即可求得答案；
（3）首先求得直线AG的解析式，即可求点G的坐标，然后表示出点P与Q的坐标，由S=S_△APG=S_△APQ+S_△PGQ，即可求得答案．

解答：解：（1）∵B点的坐标为（3，O），OB=OC，
∴点B（3，0），
∵tan∠ACO=

1

3

，
∴OA=1，
∴点A（-1，0），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3．

（2）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），
则N（R+1，R），
∴R=（R+1）²-2（R+1）-3，
解得：R=

1± 17

2

（负值舍去），
∴R=

1+ 17

2

；
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
∴N（r+1，-r），
∴-r=（r+1）²-2（r+1）-3，
解得：r=

-1± 17

2

（负值舍去），
∴r=

-1+ 17

2

，
∴圆的半径为：

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

；

（3）过点P作PQ∥y轴，交AG于点Q，则P（t，t²-2t-3），
∵G（2，n）在此抛物线上，
∴n=2²-2×2-3=-3，
设直线AG的解析式为：y=kx+b，
把A（-1，0），G（2，-3）代入y=kx+b得：

-k+b=0 2k+b=-3

，
解得：

k=-1 b=-1

，
∴直线AG的解析式为：y=-x-1，
∴点Q（t，-t-1），
联立：

y=x2-2x-3 y=-x-1

，
解得：

x=2 y=-3

或

x=-1 y=0

，
点G（2，-3），
∴PQ=（-t-1）-（t²-2t-3）=-t²+t+2，
∴S=S_△APG=S_△APQ+S_△PGQ=

1

2

×（-t²+t+2）×[2-（-1）]=-

3

2

t²+

3

2

t+3．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、切线的性质、二次函数的性质以及三角形的面积问题．此题难度较大，综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．