Question

15．如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，OE交CD于点H，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，CE=3，DE=4，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得到BO=$\frac{1}{2}$BD，由等量代换推出OE=$\frac{1}{2}$BD，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，得出对应边成比例，由勾股定理求出CD，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠CEO
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴BD•CE=CD•DE，
∵DE⊥BE，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴3BD=5×4，
∴BD=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．