Question

7．已知抛物线y=-（x-1）²+m（m是常数），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，若x₁＜1＜x₂，x₁+x₂＞2，则下列大小比较正确的是（　　）

• A． m＞y₁＞y₂
• B． m＞y₂＞y₁
• C． y₁＞y₂＞m
• D． y₂＞y₁＞m

Answer 1

分析 根据二次函数的性质得到抛物线y=-（x-1）²+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线x=1，设A（x₁，y₁）的对称点为A′（x₀，y₁），从而求得x₁+x₀=2，由x₁＜1＜x₂，x₁+x₂＞2，得出1＜x₀＜x₂，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以1＜x₀＜x₂时，m＞y₁＞y₂．

解答 解：∵y=-（x-1）²+m，
∴a=-1＜0，有最大值为m，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=-（x-1）²+m对称轴为直线x=1，
设A（x₁，y₁）的对称点为A′（x₀，y₁），
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{0}}{2}$=1，
∴x₁+x₀=2，
∵x₁+x₂＞2，
∵x₁＜1＜x₂，
∴1＜x₀＜x₂，
∴m＞y₁＞y₂．
故选A．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．