Question

15．解方程组：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{xy+3x+y+3=0}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}+x+y=0}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）将第一个方程分解因式得：（x+1）（y+3）=0，可得x=-1或y=-3，再分别代入第二个方程中，解出即可；
（2）将第一个方程分解因式得：（x+y）（x-y+1）=0，得到两个一次方程，分别和第二个方程组成新的方程组，解出即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{xy+3x+y+3=0①}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12②}\end{array}\right.$，
由①得：x（y+3）+（y+3）=0，
（x+1）（y+3）=0，
x=-1或y=-3．
当x=-1时，3+4y²=12，
4y²=9，y=±$\frac{3}{2}$；
当y=-3时，3x²+36=12，
3x²=-24，
此方程无实数解，
故原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；

（2）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}+x+y=0}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$．
由①得：（x+y）（x-y）+（x+y）=0，
（x+y）（x-y+1）=0，
x+y=0或x-y+1=0，
∴可以化为以下两个方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0①}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2②}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0③}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2④}\end{array}\right.$，
由①和②组成的方程组无解，
解由③和④组成的方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了高次方程组的解法，有难度，此类题都是从一个方程入手，利用将方程变形后分解因式，达到降次的目的，从而解决问题．