Question

10．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC=60°，AD=2，过C作CE⊥CD，且CE=CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；
（2）证明：DF+CF=EF．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，求出CD即可解决问题；
（2）在EF上取一点M，使得EM=DF，只要证明△MCF是等边三角形即可解决问题．

解答 （1）解：在Rt△ADC中，∵AD=2，∠ADC=60°，
∴∠ACD=30°，
∴CD=CE=2AD=4，
∵EC⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴S_△ECD=$\frac{1}{2}$•CD•CE=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

（2）证明：在EF上取一点M，使得EM=DF，
∵EC=CD，∠E=∠CDF=45°，
∴△ECM≌△DCF，
∴CM=CF，
∵∠ADC=60°，
∠FDB=180°-60°-45°=75°，
∴∠DFB=∠CFM=180°-75°-45°=60°，
∴△CFM是等边三角形，
∴CF=MF，
∴EF=EM+MF=DF+CF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．