Question

18．李刚家去年养殖的“丰收一号”多宝鱼喜获丰收，上市20天全部售完，李刚对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，多宝鱼价格z（单位：元/件）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示．

（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；
（2）求李刚家多宝鱼的日销售量y与上市时间x的函数解析式；
（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？

Answer 1

分析 （1）观察函数图象，找出拐点坐标即可得出结论；
（2）设李刚家多宝鱼的日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx+b，分0≤x≤12和12＜x≤20，找出图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）设多宝鱼价格z与上市时间x的函数解析式为z=mx+n，找出在5≤x≤15图象上点的坐标，利用待定系数法求出z关于x的函数解析式，分别代入x=10、x=12求出y与z得值，二者相乘后比较即可得出结论．

解答 解：（1）观察图象，发现当x=12时，y=120为最大值，
∴日销售量的最大值为120千克．
（2）设李刚家多宝鱼的日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx+b，
当0≤x≤12时，有$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{12k+b=120}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=10}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴此时日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=10x；
当12＜x≤20时，有$\left\{\begin{array}{l}{12k+b=120}\\{20k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-15}\\{b=300}\end{array}\right.$，
∴此时日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=-15x+300．
综上可知：李刚家多宝鱼的日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=$\left\{\begin{array}{l}{10x（0≤x≤12）}\\{-15x+300（12＜x≤20）}\end{array}\right.$．
（3）设多宝鱼价格z与上市时间x的函数解析式为z=mx+n，
当5≤x≤15时，有$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=32}\\{15m+n=12}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=42}\end{array}\right.$，
∴此时多宝鱼价格z与上市时间x的函数解析式为y=-2x+42．
当x=10时，y=10×10=100，z=-2×10+42=22，
当天的销售金额为：100×22=2200（元）；
当x=12时，y=10×12=120，z=-2×12+42=18，
当天的销售金额为：120×18=2160（元）．
∵2200＞2160，
∴第10天的销售金额多．

点评 本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出最高点；（2）分段利用待定系数法求出函数解析式；（3）利用待定系数法求出z关于x的函数解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．