题目内容
11．
如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，折痕与AC边交于点E，分别过点D、E作BC的垂线，垂足为Q、P，称为第1次操作，记四边形DEPQ的面积为S1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，折痕与AC边交于点E1，分别过点D1、E1作BC的垂线，垂足为Q1、P1，称为第2次操作，记四边形D1E1P1Q1的面积为S2；按上述方法不断操作下去…，若△ABC的面积为1，则Sn的值为（ ）| A． | $\frac{{2}^{2n}-2}{{2}^{2n}}$ | B． | $\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{2n-1}}$ | C． | $\frac{{3}^{n}-1}{{2}^{2n}}$ | D． | $\frac{{2}^{n-1}-1}{{2}^{2n}}$ |
分析 根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质，∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，进而得到四边形DEPQ的面积为DQ×DE=（AA1-AA2）×DE，再用同样的方法计算四边形D1E1P1Q1的面积为D1Q1×D1E1=（AA1-AA3）×D1E1，四边形D2E2P2Q2的面积为D2Q2×D2E2=（AA1-AA4）×D2E2，最后根据所得的计算结果得出规律即可．
解答 
解：连接AA1，
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA=DB，
∴DB=DA1，
∴∠BA1D=∠B，
∴∠ADA1=2∠B，
又∵∠ADA1=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴四边形DEPQ的面积为S1=DQ×DE=（AA1-AA2）×DE=（1-$\frac{1}{2}$）AA1×$\frac{1}{2}$BC=（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$×2S△ABC=（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$×2
同理，四边形D1E1P1Q1的面积为S2=D1Q1×D1E1=（AA1-AA3）×D1E1=（1-$\frac{1}{4}$）×$\frac{1}{4}$×2
四边形D2E2P2Q2的面积为S3=D2Q2×D2E2=（AA1-AA4）×D2E2=（1-$\frac{1}{8}$）×$\frac{1}{8}$×2
…
∴Sn的值为：[1-（$\frac{1}{2}$）n]×（$\frac{1}{2}$）n×2=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{2n-1}}$
故选（B）
点评 本题考查了三角形的中位线以及翻折变换，解决问题时需要掌握三角形中位线的性质定理，以及平行线等分线段定理，根据几个四边形的面积找出规律是解题的关键．
如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是①②③④（只填写序号）
| A． | $\frac{400}{x}=\frac{300}{x-30}$ | B． | $\frac{400}{x-30}=\frac{300}{x}$ | C． | $\frac{400}{x+30}=\frac{300}{x}$ | D． | $\frac{400}{x}=\frac{300}{x+30}$ |
一次函数y=-3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）x≥b-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
如图，在矩形ABCD中，P为AD上一点，连接BP，CP，过C作CE⊥BP于点E，连接ED交PC于点F．