Question

1．如图，在矩形ABCD中，P为AD上一点，连接BP，CP，过C作CE⊥BP于点E，连接ED交PC于点F．
（1）求证：△ABP∽△ECB；
（2）若点E恰好为BP的中点，且AB=3，AP=k（0＜k＜3）．
①求$\frac{PF}{PC}$的值（用含k的代数式表示）；
②若M、N分别为PC，EC上的任意两点，连接NF，NM，当k=$\sqrt{2}$时，求NF+NM的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的想知道的∠A=∠ABC=90°，由余角的性质得到∠APB=∠PBC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据相似三角形的性质得到$\frac{AP}{AB}=\frac{BE}{BC}$，得到BP=$\sqrt{9+{k}^{2}}$，过P作PH⊥PD交DE于H，推出P，E．C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠PDH=∠PCE=∠BCE=∠ABP，根据相似三角形的想知道的$\frac{PH}{PD}=\frac{AP}{AB}$，即可得到结论；②把k=$\sqrt{2}$代入$\frac{PF}{FC}=\frac{9-2}{18}$=$\frac{7}{18}$，过F作FG⊥BC于G交CE于N，反向延长交AD于H，则FH⊥AD，过N作NM⊥PC于M，根据线段公理得到NF+NM的最小值即为FG的长，即可得到结论．

解答 （1）证明：在矩形ABCD中，
∵∠A=∠ABC=90°，
∵CE⊥BP，
∴∠CEB=90°，
∴∠A=∠CEB，
∴∠APB+∠ABP=∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠APB=∠PBC，
∴△ABP∽△ECB；

（2）解：①∵△ABP∽△ECB，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{BE}{BC}$，
∵BP=$\sqrt{9+{k}^{2}}$，E为BP的中点，
∴BE=$\frac{\sqrt{9+{k}^{2}}}{2}$，
∴BC=$\frac{9+{k}^{2}}{2k}$，
过P作PH⊥PD交DE于H，
∴PD=BC-AP=$\frac{9-{k}^{2}}{2k}$，
∵∠BEC=∠ADC=90°，
∴P，E．C，D四点共圆，
∴∠PDH=∠PCE=∠BCE=∠ABP，
∴△APB∽△PHD，
∴$\frac{PH}{PD}=\frac{AP}{AB}$，
∴PH=$\frac{9-{k}^{2}}{6}$，
∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{PF}{FC+PF}=\frac{9-{k}^{2}}{27-{k}^{2}}$；
②当k=$\sqrt{2}$时，$\frac{PF}{FC}=\frac{7}{25}$，
过F作FG⊥BC于G交CE于N，反向延长交AD于H，
则FH⊥AD，过N作NM⊥PC于M，
∴NF+NM的最小值即为FG的长，
∴$\frac{FG}{FH}$=$\frac{FC}{PF}$=$\frac{25}{7}$，
∴FG=$\frac{54}{25}$，
即NF+NM的最小值是$\frac{54}{25}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理，最短距离问题，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键，