Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AF=1，tan∠N=$\frac{4}{3}$，求⊙O的半径r的长；
（3）在（2）的条件下，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意结合角平分线的定义得出∠OBD=∠DBC，进而求出∠ODB+∠BDC=90°，进而得出答案；
（2）构造直角三角形，设OD=3k，AD=4k，则AO=5k，则AO=OD+AF=3k+1，进而得出答案；
（3）利用相似三角形的判定与性质和三角函数关系分别得出BH，BC，BD的长，进而求出BE的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC，
∵∠DBC+∠CDB=90°，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∴OD⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；

（2）解：∵∠FNH=∠ABC，OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC=∠FNH，
在Rt△AOD中，设OD=3k，AD=4k，则AO=5k，
∵AO=OD+AF=3k+1，
∴3k+1=5k，
解得：k=$\frac{1}{2}$，
∴r=3k=$\frac{3}{2}$；

（3）解：连接BN，
由题意可得：BF=2r=3，
∵∠FNH+∠BNH=∠BNH+∠NBH=90°，
∴∠FNH=∠NBH，
∴$\frac{NH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{FH}{HN}$=$\frac{4}{3}$，
∴设BH=3a，则HN=4a，故FH=$\frac{16}{3}$a，
则$\frac{16}{3}$a+3a=3，
解得：a=$\frac{9}{25}$，
故BH=$\frac{27}{25}$，
∵DO∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴$\frac{DO}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{BC}$=$\frac{1+\frac{3}{2}}{4}$，
解得：BC=$\frac{12}{5}$，
∵∠C=∠FDB=90°，∠ABD=∠CBD，
∴△BCD∽△BDF，
则$\frac{BD}{BF}$=$\frac{BC}{BD}$，
故BD²=BF•BC=$\frac{36}{5}$，
∴BD=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∵∠EHB=∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD，
∴△BHE∽△BCD，
则$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BH}{BC}$，
∴BE=$\frac{BH}{BC}$•BD=$\frac{27}{50}$$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质、三角函数关系等知识，正确得出△BHE∽△BCD是解题关键．