Question

4．根据下面图形，解答问题：
（1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线（如图1），求∠DAG的度数？
（2）在（1）中，若去掉“AB=AC”的条件，其余条件不变（如图2），还能求出∠DAG的度数吗？若能，请求出∠DAG的度数；若不能，请说明理由；
（3）在（2）的情况下，试探索△ADG的周长与BC长的关系？

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的性质求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，易求解；
（2）利用线段垂直平分线的性质求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，求出即可；
（3）根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理：GA=GC，∠C=∠GAC，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠BAD+∠GAC=80°，
∴∠DAG=∠BAC-（∠BAD+∠GAC）=100°-80°=20°；

（2）能，∠DAG=20°；
理由是：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理：GA=GC，∠C=∠GAC，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠BAD+∠GAC=80°，
∴∠DAG=∠BAC-（∠BAD+∠GAC）=100°-80°=20°；
（3）由（2）知，AD=BD，AG=GC，
∴AD+DG+AG=BD+DG+GC=BC．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；进行有效的角与线段的转化是正确解答本题的关键．