Question

16．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，AD平分∠BAC，点M，N分别为AD，AC上的动点，则CM+MN的最小值是2.4．

Answer 1

分析 取点N关于AD的对称点E，由轴对称图形的性质可知MN=ME，从而得到CM+MN=CM+ME，当点C、M、E在一条直线上且CE⊥AB时，CM+MN有最小值，然后证明△ABC为直角三角形，最后利用面积法求得CE的值即可．

解答 解：取点N关于AD的对称点E．

∵AD平分∠BAC，
∴点E在AB上．
∵点N与点D关于AD对称，
∴MN=ME．
∴CM+MN=CM+ME．
当CE⊥AB时，CE有最小值，即CM+MN有最小值．
在△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，
∴△ABC为直角三角形．
∴AC•BC=AB•CE，即5CE=3×4，解得CE=2.4．
故答案为：2.4．

点评 本题主要考查的是轴对称-路径最短问题，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、垂线段最短的性质，将CM+MN转化为CE的长是解题的关键．