Question

10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴上，点C在x轴上，点B（4，4），点E在BC边上，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得△AOF，连接EF交y轴于点D．
（Ⅰ）若点E的坐标为（4，3），求①线段EF的长；②点D的坐标；
（Ⅱ）设点E（4，m），S=S_△ABE+S_△FCE，试用含m的式子表示S，并求出使S取得最大值时点E的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①由旋转的性质及正方形的性质可知，BE=OF，∠FOC=180°，由B（4，4），E（4，3），可得CE=3，CF=5．然后在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求得EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{34}$；
②由OD∥CE，可得△ODF∽△CEF，根据相似三角形对应边成比例得到$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OF}{CF}$，代入数值即可求得OD=$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）由B（4，4），E（4，m），可得BE=4-m，CF=CO+OF=4+4-m=8-m，根据三角形的面积公式求出S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=2（4-m），S_△FCE=$\frac{1}{2}$CE•CF=$\frac{1}{2}$m（8-m），那么S=2（4-m）+$\frac{1}{2}$m（8-m）=-$\frac{1}{2}$m²+2m+8，利用配方法得到S=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+10，根据二次函数的性质即可求出m=2时，S取最大值，此时点E的坐标为（4，2）．

解答 解：（Ⅰ）①由题意可知，BE=OF，∠FOC=180°，
∵B（4，4），E（4，3），
∴CE=3，CF=5．
∵在Rt△CEF中，∠ECF=90°，
∴EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{34}$；

②∵OD∥CE，
∴△ODF∽△CEF，
∴$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OF}{CF}$，$\frac{OD}{3}$=$\frac{1}{5}$，
∴OD=$\frac{3}{5}$；

（Ⅱ）∵B（4，4），E（4，m），
∴BE=4-m，CF=CO+OF=4+4-m=8-m，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=2（4-m），S_△FCE=$\frac{1}{2}$CE•CF=$\frac{1}{2}$m（8-m），
∴S=2（4-m）+$\frac{1}{2}$m（8-m）=-$\frac{1}{2}$m²+2m+8，
配方，得S=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+10，
∴当m=2时，S取最大值，此时点E的坐标为（4，2）．

点评 本题是几何变换综合题，其中涉及到旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数最值的求法等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合是解题的关键．