Question

2．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．若sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，则 tan∠EBC的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 首先证得△ABF∽△DFE，sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，设DE=a，EF=3a，DF=$\sqrt{{EF}^{2}{-DE}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°，
又∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE，
在Rt△DEF中，sin∠DFE=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴设DE=a，EF=3a，DF=$\sqrt{{EF}^{2}{-DE}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，
∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{DF}{AB}=\frac{2\sqrt{2}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
tan∠EBC=tan∠EBF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的证明方法，以及直角三角形中角的函数值，找到等角代换是解答此题的关键．