如图.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A.B两点.交y轴于C点.A点在B点的左侧.已知B点坐标是(8.0).tan∠ABC=$\frac{1}{2}$.△ABC的面积为8．(1)求抛物线的解析式,(2)若直线EF∥x轴.从过C点开始.以每秒1个单位长度的速度向x轴方向平移.并且分别交y轴.线段CB于点E.F．动点P同时从B点出发在线段BO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标是（8，0），tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，△ABC的面积为8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线EF∥x轴，从过C点开始，以每秒1个单位长度的速度向x轴方向平移，并且分别交y轴、线段CB于点E，F．动点P同时从B点出发在线段BO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，连结FP，设运动时间为t秒．问：当t取何值时，$\frac{1}{EF}+\frac{1}{OP}$的值最小，并求出最小值；
（3）在满足（2）的条件下，存在2个t值，使得点P，B，F构成Rt△；若存在，请直接写出t的值．

分析（1）求出A，B，C，三点的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，问题得解．
（2）利用相似三角形得到$\frac{EF}{OB}=\frac{CE}{CO}$，和t的关系式问题得解．
（3）因为点P，B，F构成Rt△，分别求出满足题意的t的值．

解答解：（1）由题意知∠COB=90°B（8，0）OB=8，
在Rt△OBC中tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}=\frac{1}{2}$OC=OB×tan∠ABC=8×$\frac{1}{2}$=4，
∴C（0，4），${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•OC=8$，
∴AB=4，
∴A（4，0）
把A、B、C三点的坐标代入y=ax²+bx+c（a＞0）得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为$y=\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+4$；
（2）由题意得，0＜t＜4，
CE=t，BP=2t，OP=8-2t，
∵EF∥x轴，
∴△CEF∽△COB，
∴$\frac{EF}{OB}=\frac{CE}{CO}$得EF=2t，
∴$\begin{array}{l}\frac{1}{EF}+\frac{1}{OP}=\frac{1}{2t}+\frac{1}{8-2t}\\=\frac{8}{2t（8-2t）}=\frac{2}{t（4-t）}\end{array}$，
要使$\frac{1}{EF}+\frac{1}{OP}$的值最小，即t（4-t）要求最大，
∴当t=2时，$\frac{1}{EF}+\frac{1}{OP}$最小值为$\frac{1}{2}$；
（3）当使得点P，B，F构成Rt△；
可得∠FPB=90°，或∠PFB=90°，
即t有2个值；
故答案为：2；
当∠FPB=90°，点P，B，F构成Rt△时，此时$\frac{FP}{BP}=\frac{1}{2}=\frac{4-t}{2t}$，解得：t=2，
当∠PFB=90°，点P，B，F构成Rt△时，解得：t=$\frac{20}{9}$．

点评本题考查用一般式求二次函数的解析式及二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．体现的数学思想是分类讨论思想．