Question

5．如图，在矩形ABCD中，AB=$2\sqrt{3}$，BC=8，M是BC 的中点，P、Q两点同时从M点出发，其中点P以每秒1个单位的速度向B运动，到达点B后立即按原来的速度反向向M点运动，到达M点后停止，点Q以每秒1个单位的速度沿射线MC运动，当点P停止时点Q也随之停止．以PQ为边长向上作等边三角形PQE．
（1）求点E落在线段AD上时，P、Q两点的运动时间；
（2）设运动时间为t秒，矩形ABCD与△PQE重叠的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）在矩形ABCD中，点N是线段BC上一点，并且CN=2，在直线CD上找一点H（H点在D点的上方）连接HN，DN，将△HDN绕点N逆时针旋转90°，得到△H′D′N，连接HH'，得到四边形HH′D′N，四边形HH′D′N的面积能否是$\frac{31}{2}-\sqrt{3}$？若能，求出HD的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当点E落在线段AD上时，由△EPQ是等边三角形，得到△EPM是直角三角形，根据勾股定理列方程解出t的值；
（2）分类讨论；当0≤t≤2时，因为△EPQ是等边三角形，如图1，得到PM=QM=t，EM⊥PQ，PQ=2t，EM=$\sqrt{3}$t，根据三角形的面积公式即可求出S=$\frac{1}{2}$PQ•EM=$\sqrt{3}$t²，当2＜t≤4，如图2，因为PQ=2t，EM=$\sqrt{3}$t，PF=4，得到FG=2t-4，根据图形面积的和差可求出S=S_△EPQ-S_△EFG=$\frac{1}{2}$•2t$•\sqrt{3}t$-$\frac{1}{2}$（2t-4）（$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$，当4＜t≤6，如图3，由题意得到PQ=8，FG=4，DG=6-t，CQ=t-4，根据图形面积的和差可求出S=S_△EPQ-S_△EFG-S_△GDN-S_△CQN=-$\sqrt{3}$t²$+10\sqrt{3}t$-2$\sqrt{3}$，当6＜t≤8时，如图4，根据题意得PQ=8，FG=4，DF=10-t，CP=12-t，由梯形的面积公式即可得到S=S_{四边形PCDF}=$\frac{1}{2}$（10-t+12-t）×$2\sqrt{3}$=-2$\sqrt{3}$t+22$\sqrt{3}$；
（3）由旋转的性质得到△H′NH是等腰直角三角形，根据图形面积的和差即可求出结果．

解答 解：（1）当点E落在线段AD上时，△EPQ是等边三角形，
∴EM⊥PQ，PM=QM，
∴EM=AB=2$\sqrt{3}$，PM=MQ=t，
∴PQ=EP=EQ=2t，
∴t²${+（2\sqrt{3}）}^{2}$=（2t）²，
∴t=2（负值舍去），
∴点E落在线段AD上时，P、Q两点的运动时间为：2s；

（2）当0≤t≤2时，∵△EPQ是等边三角形，如图1，
∴PM=QM=t，EM⊥PQ，
∴PQ=2t，EM=$\sqrt{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$PQ•EM=$\sqrt{3}$t²，
当2＜t≤4，如图2，
∵PQ=2t，EM=$\sqrt{3}$t，PF=4，
∴FG=2t-4，
∴S=S_△EPQ-S_△EFG=$\frac{1}{2}$•2t$•\sqrt{3}t$-$\frac{1}{2}$（2t-4）（$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$，
当4＜t≤6，如图3，
PQ=8，FG=4，DG=6-t，CQ=t-4，
∴S=S_△EPQ-S_△EFG-S_△GDN-S_△CQN
=$\frac{1}{2}$×$8×4\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-t）²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-4）²
=-$\sqrt{3}$t²$+10\sqrt{3}t$-2$\sqrt{3}$，
当6＜t≤8时，如图4，
PQ=8，FG=4，DF=10-t，CP=12-t，
∴S=S_{四边形PCDF}=$\frac{1}{2}$（10-t+12-t）×$2\sqrt{3}$=-2$\sqrt{3}$t+22$\sqrt{3}$，
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{{\sqrt{3}t}^{2}（0≤t≤2）}\\{4\sqrt{3}t-4\sqrt{3}（2＜t≤4）}\\{-{\sqrt{3}t}^{2}+10\sqrt{3}t-2\sqrt{3}（4＜t≤6）}\\{-2\sqrt{3}t+22\sqrt{3}（6＜t≤8）}\end{array}\right.$，

（3）设HD=x，则NH²=${（x+2\sqrt{3}）}^{2}$+2²=x²$+4\sqrt{3}x$+16，
∵△H′NH是等腰直角三角形，
∴S_{四边形HH′D′N}=S_△HH′N-S_△D′H′N=${\frac{1}{2}NH}^{2}$-$\frac{1}{2}$•HD•NC=$\frac{1}{2}$（${x}^{2}+4\sqrt{3}x+16$）-$\frac{1}{2}×2•x$=$\frac{31}{2}$-$\sqrt{3}$，
x²+（4$\sqrt{3}$-2）x+（2$\sqrt{3}$-15）=0，
解得：x=$\sqrt{3}$或x=2+5$\sqrt{3}$，
∴HD=$\sqrt{3}$或HD=2+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积的求法，旋转的性质，特别是要注意进行分类讨论．