Question

15．如图，有一张面积为3的正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则PQ=1．

Answer 1

分析 根据正方形的面积求出边长，根据翻折的性质可得BP=BC，PQ=CQ，过点Q作QE⊥MN于E，可得四边形NCQE是矩形，利用勾股定理列式求出PN，再求CN，设CQ=x，表示出PQ、PE，然后利用勾股定理列方程求出PQ．

解答 解：∵正方形纸片ABCD的面积为3，
∴正方形的边长为$\sqrt{3}$，
由翻折的性质得，BP=BC=$\sqrt{3}$，PQ=CQ，
过点Q作QE⊥MN于E，则四边形NCQE是矩形，

在Rt△PBN中，由勾股定理得，PN=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∵M，N分别是AD，BC边的中点，
∴CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
设CQ=x，则PQ=CQ=x，PE=$\frac{3}{2}$-x，
在Rt△PEQ中，由勾股定理得，PE²+EQ²=PQ²，
即（$\frac{3}{2}$-x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=x²，
解得x=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键，本题难点在于作辅助线构造出直角三角形并两次利用勾股定理．