Question

19．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC为锐角，AB=12cm，AC=15cm．按下列步骤折叠：第一次，把∠B折叠使点B落在AC边上，折痕为AD，交BC于点D；第二次折叠，使点A与点D重合，折痕分别交AB、AC于点E、F，EF与AD交于点O，展开后，连结DE、DF．
（1）试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）求AF的长．

Answer 1

分析 （1）如图，首先证明∠OFA=∠OEA，得到AE=AF，此为解题的关键性结论；运用翻折变换的性质得到
AE=DE，AF=DF，即可解决问题．
（2）如图，首先证明△BED∽△BAC，得到$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{AC}$，进而证明$\frac{12-AF}{12}=\frac{AF}{15}$，求出AF，即可解决问题．

解答 解：（1）四边形AEDF是菱形．
理由：由第一次以AD为折痕的折叠可知：
∠OAF=∠OAE；
由第二次以EF为折痕的折叠可知：
AE=DE，AF=DF，∠AOE=90°，
∴∠OAF+∠OFA=90°，∠OAE+∠OEA=90°，
∴∠OFA=∠OEA，
∴AE=AF，
∴AE=DE=AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．          
（2）由（1）知四边形AEDF是菱形，
∴DE∥AC，AE=AF=DE，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{AC}$
∵AB=12cm，AC=15cm，
∴$\frac{12-AF}{12}=\frac{AF}{15}$，
∴AF=$\frac{20}{3}$（cm）．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、菱形的判定、相似三角形的判定及其应用等几何知识点及其应用问题；深入观察图形，准确把握图形中隐含的数量关系是基础；灵活运用翻折变换的性质、相似三角形的判定及其应用等是解题的关键．