Question

19．抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x+m与x轴只有一个公共点，把抛物线向下平移使之过原点后，与x轴的另一个交点为A，顶点为M，求△OAM的面积．

Answer 1

分析 因为抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x+m与x轴只有一个公共点，所以△=0，求出m=2，写出解析式，向下平移2个单位后过原点，则平移后的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x，顶点坐标M（2，-2），与x轴另一交点A（4，0），根据三角形面积公式求出△OAM的面积．

解答 解：△=（-2）²-4×$\frac{1}{2}$m=0，
m=2，
∴抛物线解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x+2，
与y轴交于点（0，2），
所以把抛物线向下平移使之过原点，则向下平移2个单位，
得抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x=$\frac{1}{2}$（x²-4x+4-4）=$\frac{1}{2}$（x-2）²-2，
∴顶点M（2，-2），
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-2x=0，
x（x-4）=0，
x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
过M作MN⊥x轴于N，
∴S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•MN=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

点评 本题考查了二次函数图象与x轴交点问题及几何变换问题，明确抛物线与x轴交点的个数与△=b²-4ac的关系：①△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；③△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．还要知道抛物线过原点，则常数顶为0或经过（0，0），平移前后的抛物线解析式二次项系数不变．