Question

7．已知，如图，点B、C、D在⊙O上，四边形OCBD是平行四边形，
（1）求证：$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$；
（2）若⊙O的半径为2，求$\widehat{BD}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，如图，利用平行四边形的性质得OC=BD，OD=BC，然后利用OC=OD得到BD=BC，然后根据弦、弧和圆心角的关系得到$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$；
（2）先判断△OBD和△OBC为等边三角形，则∠BOC=∠BOD=60°，所以∠COD=120°，然后利用弧长公式计算$\widehat{BD}$的长．

解答 （1）证明：连接OB，如图，
∵四边形OCBD是平行四边形，
∴OC=BD，OD=BC，
而OC=OD，
∴BD=BC，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$；
（2）解：∵OD=BD=OB=OC=BC=2，
∴△OBD和△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=∠BOD=60°，
∴∠COD=120°，
∴$\widehat{BD}$的长=$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR；弧长公式：l=$\frac{nπR}{180}$（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质．