Question

16．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$、$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：$\frac{5}{\sqrt{3}}$=$\frac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$；
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3-1）}}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3-1）}}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-1}$=$\sqrt{3}$-1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$-1．
（1）请任用其中一种方法化简：
①$\frac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$；
②$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$（n为正整数）；
（2）化简：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…$\frac{2}{\sqrt{101}+\sqrt{99}}$．

Answer 1

分析 （1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可；
（2）原式分母有理化后，合并即可得到结果．

解答 解：（1）①原式=$\frac{15-11}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$=$\frac{（\sqrt{15}）^{2}-（\sqrt{11}）^{2}}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$=$\frac{（\sqrt{15}+\sqrt{11}）（\sqrt{15}-\sqrt{11}）}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$=$\sqrt{15}$+$\sqrt{11}$；
②原式=$\frac{（2n+1）-（2n-1）}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\frac{（\sqrt{2n+1}）^{2}-（\sqrt{2n-1}）^{2}}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\frac{（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}）（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$；
（2）原式=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$+$\frac{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{2（\sqrt{101}-\sqrt{99}）}{（\sqrt{101}+\sqrt{99}）（\sqrt{101}-\sqrt{99}）}$=$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{101}$-$\sqrt{99}$=$\sqrt{101}$-1．

点评 此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．