Question

5．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、G分别在AD、BC上，且DE=BG=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFGH是什么特殊四边形？并证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE²+BE²的值，求出BC²，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBG和AECG，推出EH∥FG，EF∥HG，推出平行四边形EFGH，根据矩形的判定推出即可．

解答 解：（1）△BEC是直角三角形：理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同理BE=2$\sqrt{5}$，
∴CE²+BE²=5+20=25，
∵BC²=5²=25，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）四边形EFGH为矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BG，
∴四边形DEBG是平行四边形，
∴BE∥DG，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BG，
∴AE=CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AG∥CE，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形．

点评 本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中．