Question

11．数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）
（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．

解答 解：（1）BC+CD=$\sqrt{2}$AC；
理由：如图1，
延长CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$AC，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=$\sqrt{2}$AC；
（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，
延长CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=α，
∴AB=AD，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2α，
∵∠ACB=∠ACD=α，
∴∠ACB+∠ACD=2α，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，
∴∠AEC=α，
过点A作AF⊥CE于F，
∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，
∴CE=2CF=2AC•cosα，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=2AC•cosα．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道综合性较强的题目．