Question

20．如图，AB是⊙O的直径，$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；
②$\frac{EB}{CD}$是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°，由$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$即AC=BC可得答案；
（2）分∠ABD为锐角和钝角两种情况，①作BF⊥l于点F，证四边形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，结合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度数可得；②同理BF=$\frac{1}{2}$BD，即可知∠BDC=30°，分别求出∠BEC、∠ADB即可得；
（3）分D在C左侧和点D在点C右侧两种情况，作EI⊥AB，证△CAD∽△BAE得$\frac{AC}{BA}$=$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，即AE=$\sqrt{2}$CD，结合EI=$\frac{1}{2}$BE、EI=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，可得BE=2EI=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$CD=2CD，从而得出结论．

解答 解：（1）如图1，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{180°-90°}{2}$=45°；

（2）①当∠ABD为锐角时，如图2所示，作BF⊥l于点F，

由（1）知△ACB是等腰直角三角形，
∵OA=OB=OC，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
又BF⊥l，
∴四边形OBFC是矩形，
∴AB=2OC=2BF，
∵BD=AB，
∴BD=2BF，
∴∠BDF=30°，
∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，
∴∠CBE=∠CBA-∠DBA=45°-30°=15°，
∴∠DEA=∠CEB=90°-∠CBE=75°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
②当∠ABD为钝角时，如图3所示，

同理可得BF=$\frac{1}{2}$BD，即可知∠BDC=30°，
∵OC⊥AB、OC⊥直线l，
∴AB∥直线l，
∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，
∴∠BEC=90°-（∠ABE+∠ABC）=90°-（30°+45°）=15°，
∵AB=DB，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ABE=15°，
∴∠BEC=∠ADE，
∴AE=AD；

（3）①如图2，当D在C左侧时，
由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°，
∴△CAD∽△BAE，
∴$\frac{AC}{BA}$=$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴AE=$\sqrt{2}$CD，
作EI⊥AB于点I，
∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，
∴BE=2EI=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$CD=2CD，
∴$\frac{BE}{CD}$=2；
②如图3，当点D在点C右侧时，过点E作EI⊥AB于I，
由（2）知∠ADC=∠BEA=15°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD，
∴△ACD∽△BAE，
∴$\frac{AC}{BA}$=$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$AE=\sqrt{2}$CD，
∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°，
∴∠IBE=30°，
∴BE=2EI=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$CD=2CD，
∴$\frac{BE}{CD}$=2．

点评 本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆心角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．