Question

3．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式|x-1|＜2的解集
（1）探究|x-1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x-1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x-1|，可记为A′O=|x-1|．将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|x-1|．因此，|x-1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程|x-1|=2的解
因为数轴上3和-1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，-1．
（3）求不等式|x-1|＜2的解集
因为|x-1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．
请在图②的数轴上表示|x-1|＜2的解集，并写出这个解集．
探究二：探究$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$的几何意义
（1）探究$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO=$\sqrt{O{P}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{|x{|}^{2}+|y{|}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，因此，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-5）^{2}}$的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x-1，y-5），由探究二（1）可知，A′O=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-5）^{2}}$，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以AB=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-5）^{2}}$，因此$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-5）^{2}}$的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
（4）$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$的几何意义可以理解为：点（x，y）与点（a，b）之间的距离．
拓展应用：
（1）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，-1）的距离和点A（x，y）与点F（-1，-5）（填写坐标）的距离之和．
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$的最小值为5（直接写出结果）

Answer 1

分析 探究一（3）由于|x-1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围，从而画出数轴即可．
探究二（3）由于$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$的几何意义是：点A（x，y）与B（-3，4）之间的距离，所以构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案．
（4）根据前面的探究可知$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
拓展应用
（1）根据探究二（4）可知点F的坐标；
（2）根据三角形的三边关系即可求出答案．

解答 解：探究一：（3）如图所示，
∴|x-1|＜2的解集是-1＜x＜3，

探究二：（3）如图⑤，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x+3，y-4），由探究二（1）可知，A′O=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$，将线段A′O先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（-3，4），因为AB=A′O，所以AB=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$，因此$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（-3，4）之间的距离AB．


（4）根据前面的探究可知$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；

拓展应用：（1）由探究二（4）可知$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$表示点（x，y）与（-1，-5）之间的距离，
故F（-1，-5），
（2）由（1）可知：$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$表示点A（x，y）与点E（2，-1）的距离和点A（x，y）与点F（-1，-5）的距离之和，
当A（x，y）位于直线EF外时，
此时点A、E、F三点组成△AEF，
∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，
当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$的最小值为EF的距离，
∴EF=$\sqrt{（2+1）^{2}+（-1+5）^{2}}$=5
故答案为：探究二（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
拓展应用（1）（-1，-5）；（2）5．

点评 本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型．