Question

2．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为$\frac{（π+2）\sqrt{2}}{8}$．

Answer 1

分析 把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体，其和就是透光的面积，再计算矩形的面积，相比可得结果．

解答 解：设⊙O与矩形ABCD的另一个交点为M，
连接OM、OG，则M、O、E共线，
由题意得：∠MOG=∠EOF=45°，
∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，
∴S_透明区域=$\frac{180π×{1}^{2}}{360}$+2×$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{π}{2}$+1，
过O作ON⊥AD于N，
∴ON=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，
∴AB=2ON=2×$\frac{1}{2}\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴S_矩形=2×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{透光区域}}{{S}_{矩形}}$=$\frac{\frac{π}{2}+1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}（π+2）}{8}$．
故答案为：$\frac{（π+2）\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了矩形的性质、扇形的面积、直角三角形的面积，将透光部分化分为几个熟知图形的面积是关键．