Question

16．下列关于函数y=x²-6x+10的四个命题：
①当x=0时，y有最小值10；
②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值；
③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n-4）个；
④若函数图象过点（a，y₀）和（b，y₀+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b．
其中真命题的序号是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．

解答 解：∵y=x²-6x+10=（x-3）²+1，
∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；
当x=3+n时，y=（3+n）²-6（3+n）+10，
当x=3-n时，y=（n-3）²-6（n-3）+10，
∵（3+n）²-6（3+n）+10-[（n-3）²-6（n-3）+10]=0，
∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误；
∵抛物线y=x²-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，
当x=n+1时，y=（n+1）²-6（n+1）+10，
当x=n时，y=n²-6n+10，
（n+1）²-6（n+1）+10-[n²-6n+10]=2n-4，
∵n是整数，
∴2n-4是整数，故③正确；
∵抛物线y=x²-6x+10的对称轴为x=3，1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，
∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a＜b，故④是假命题．故选C．

点评 本题主要考查了二次函数的意义，性质，图象，能够根据二次函数的性质数形结合是解决问题的关键．