Question

11．如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且EG、FH交于点O．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若AC=4，求EG²+FH²的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得到OE²+OH²=EH²=4，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=2²，把等式进行变形，并把EG=2OE，FH=2OH代入变形后的等式中，即可求出EG²+FH²的值．

解答 （1）证明：∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，EF=HG=$\frac{1}{2}$AC，
又∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形；

（2）解：由（1）知，四边形EFGH是菱形，则EG⊥FH，EG=2OE，FH=2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE²+OH²=EH²=4，
等式两边同时乘以4得：4OE²+4OH²=4×4=16，
∴（2OE）²+（2OH）²=16，
即EG²+FH²=16．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理和菱形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大．