Question

20．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求出四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理求出AB，再由勾股定理的逆定理即可得出△ABD是直角三角形；
（2）四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC+$\frac{1}{2}$AB•AD，即可得出结果．

解答 解：（1）△ABD是直角三角形；理由如下：
∵∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵5²+12²=13²，
∴AB²+AD²=BD²，
∴△ABD是直角三角形，∠BAD=90°；
（2）四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积
=$\frac{1}{2}$AC•BC+$\frac{1}{2}$AB•AD
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×5×12
=36．

点评 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．