Question

18．已知：如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于点E，BD⊥CF于点D，AF⊥CF．
求证：BD=CF．

Answer 1

分析 根据同角的余角相等求出∠ACF=∠CBD，再利用“角角边”证明△ACF和△CBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCD=90°，
∵BD⊥CF，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACF=∠CBD，
∵BD⊥CF，AF⊥CF，
∴∠BDC=∠F=90°，
在△ACF和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠CBD}\\{∠BDC=∠F=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBD（AAS），
∴BD=CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，主要利用了同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．