Question

3．如图，直线y=-$\frac{3}{2}$x+3分别交y轴、x轴于点A，B，抛物线y=-4x²+bx+c经过点A，B，点P在该抛物线的图象上，作PN⊥x轴于点N，PN交射线AB于点F，连结AP，设点P横坐标为n（n＞0）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若AP∥x轴，求n的值；
（3）是否存在n的值，使得以点P，F，A为顶点的三角形与△FNB相似？若存在，求出满足条件的n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点坐标，利用待定系数法，转化为方程组解决．
（2）因为AP∥x轴，所以点P的纵坐标为3，当y=3时，3=-4x²+$\frac{13}{2}$x+3，解方程即可解决问题．
（3）分两种情形讨论，①当PA⊥AB时，②当AP⊥PF时，分别求解即可．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{3}{2}$x+3分别交y轴、x轴于点A，B，
∴A（0，3），B（2，0），
把A、B两点坐标代入y=-4x²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-16+2b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{13}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-4x²+$\frac{13}{2}$x+3．

（2）∵AP∥x轴，
∴点P的纵坐标为3，
当y=3时，3=-4x²+$\frac{13}{2}$x+3，解得x=0或$\frac{13}{8}$，
∴n=$\frac{13}{8}$．

（3）如图，①当PA⊥AB时，

∵∠PAF=∠FNB=90°，∠AFP=∠NFB，
∴△PAF∽△BNF，
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3，PA⊥AB，
∴直线AP的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+3，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+3}\\{y=-4{x}^{2}+\frac{13}{2}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{35}{24}}\\{y=\frac{143}{36}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{35}{24}$，$\frac{143}{36}$）．

②当AP⊥PF时，∵∠APF=∠FNB=90°，∠AFP=∠NFB，
∴△APF∽△BNF，
∵AP∥x轴，
由（2）可知，P（$\frac{13}{8}$，3），
综上所述，满足条件的n的值为$\frac{35}{24}$或$\frac{13}{8}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质．两直线垂直的条件等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组求 两个函数图象的交点坐标，属于中考压轴题．