Question

1．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF，垂足为D．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若BD=1，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．
（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的直径．

解答 （1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA为⊙O的切线．

（2）解：∵BD=1，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠DBA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∵∠DBA=∠CBA，
∴BC=$\frac{AB}{cos∠CBA}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=5．
∴⊙O的直径为5．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．