Question

11．如图1，边长为6$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线相交于O，点E从B点出发，在BD上以每秒2个单位的速度向D运动，同时点F从O点出发，在OC上以每秒1个单位的速度向C运动，运动的时间为t，（0＜t＜6）

（1）当t=$\frac{36±6\sqrt{3}}{11}$时，∠FEO=60°．
（2）如图2，当0＜t＜3时，取BE的中点M，连FM、AE，求证：∠OAE+∠OMF为定值．
（3）如图3，取AB的中点N，当t=$\frac{-3+\sqrt{153}}{4}$时，F、E、N三点在同一条直线上．

Answer 1

分析 （1）根据时间和速度表示出OE、OF，根据锐角三角函数的概念列式计算即可；
（2）作EH⊥AB于H，证明△FOM∽△EHA，得到∠FMO=∠EAH，得到答案；
（3）作NP∥OA交OB于P，根据平行线分线段成比例定理，求出NP的长，列出比例式求解即可．

解答 解（1）∵正方形边长为6$\sqrt{2}$，
∴AC=BD=12，OA=OB=6，
当点E在OB上时，
∠FEO=60°，
tan∠FEO=$\frac{OF}{OE}$，
即$\frac{t}{6-2t}$=$\sqrt{3}$，
解得，t=$\frac{36-6\sqrt{3}}{11}$，
当点E在OD上时，
同理可得，t=$\frac{36+6\sqrt{3}}{11}$．
（2）如图2，作EH⊥AB于H，
由题意得，OF=t，OM=6-t，$\frac{OF}{OM}$=$\frac{t}{6-t}$，
∵BE=2t，∠EBH=45°，
∴EH=BH=$\sqrt{2}$t，AH=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
$\frac{EH}{AH}$=$\frac{\sqrt{2}t}{6\sqrt{2}-\sqrt{2}t}$=$\frac{t}{6-t}$，
$\frac{OF}{OM}$=$\frac{EH}{AH}$，∠FOM=∠EHA=90°，
∴△FOM∽△EHA，
∴∠FMO=∠EAH，
∴∠OAE+∠OMF=∠OAE+∠EAH=45°．
（3）如图3，F、E、N三点在同一条直线上时，
作NP∥OA交OB于P，
∵N为AB的中点，
∴NP=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴$\frac{NP}{OF}$=$\frac{PE}{EO}$，
即$\frac{3}{t}$=$\frac{2t-3}{6-2t}$，
解得，t=$\frac{-3±\sqrt{153}}{4}$，
根据题意，t=$\frac{-3+\sqrt{153}}{4}$．

点评 本题考查的是正方形的性质，根据点移动的时间和速度表示出线段的长度、结合相似三角形的性质列出方程是解题的关键．