Question

10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）△CDF可看成图中哪个三角形通过旋转变换得到的？写出旋转过程；
（3）若点G在AD上，且∠GCE=45°，试判断线段GE，BE，GD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF；
（2）△CDF可以看成是△CBE绕点C顺时针旋转90°得到的；
（3）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
在△CBE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF；

（2）解：△CDF可以看成是△CBE绕点C顺时针旋转90°得到的；

（3）解：GE=BE+GD，理由：
由（1）得△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，CE=CF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+DCG=45°，
∴∠GCF=∠DCF+∠DCG=45°，
在△ECG与△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCE=∠GCF}\\{GC=GC}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD．

点评 本题主要考查图形的旋转，证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而得出线段GE，BE，GD之间的数量关系．