Question

9．如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若四边形AOBC的面积为10，则△DOE的面积是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 连接AB，OC，由等腰直角三角形的性质得到AB=4$\sqrt{2}$，由垂径定理得到BD=DC，AE=CE，根据三角形的中位线的性质得到DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，由△CDE∽△CAB，得到△CDE的面积，通过面积的和差即可求出结果．

解答 解：连接AB，OC，
∵∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=DC，AE=CE，
∴DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△OAB}}$=${（\frac{DE}{AB}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∵S_△ABC=S_{四边形AOBC}-S_△AOB=10-$\frac{1}{2}$×4×4=2，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$，
∵S_{四边形OECD}=$\frac{1}{2}$S_{四边形AOBC}=5，
∴S_△ODE=S_{四边形OECD}-S_△CDE=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，垂径定理，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．