Question

6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与坐标轴分别交于A、B两点，已知点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（8，0），OC、AD均是△OAB的中线，OC、AD相交于点F，OE⊥AD于G交AB于E．
（1）点C的坐标为（4，4）；
（2）求证：△AFO≌△OEB；
（3）求证：∠ADO=∠EDB．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OB进而求出OC，再用待定系数法求出直线AB的解析式，设出点C的坐标，即可得出结论；
（2）先判断出∠AOC=∠OBA，再利用互余判断出∠OAD=∠EOD，即可得出结论；
（3）先确定出OE的解析式，进而求出点E的坐标，即可求出直线DE的解析式，进而判断出OA=OM，即可得出结论．

解答 解：（1）A（0，8），B（0，8），
∴AB=8$\sqrt{2}$，OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OC是△AOB的中线，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵B（8，0），A（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+8，
设点C（m，-m+8），OC=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+8）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴m=4
∴C（4，4）；

（2）由（1）知，OC是等腰直角三角形的斜边的中线，
∴∠AOC=45°=∠OBA，
∵OE⊥AD，
∴∠EOD+∠ODA=90°，
∵∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠EOD，
在△AOF和△OBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠OBE}\\{OA=OB}\\{∠OAF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△OBE；

（3）如图，∵AD是△AOB的中线，
∴OD=BD，
∵B（8，0），
∴D（4，0），
∴直线AD的解析式为y=-2x+8，
∵OE⊥AD，
∴直线OE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∵点E在直线AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{16}{3}$，$\frac{8}{3}$），
∵D（4，0），
∴直线DE的解析式为y=2x-8，
∴OM=8，
∴OA=OM，
∵OB⊥OA，
∴AD=MD，
∴∠ADO=∠MDO．
∵∠EDB=∠MDO，
∴∠ADO=∠EDB．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出OC，解（2）的关键是判断出∠OAD=∠EOD，解（3）的关键是确定出点E的坐标．