Question

16．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于C，AE⊥CE，交⊙O于D．
（1）求证：DC=BC；
（2）如果BD=24，DC=13，求⊙O的半径及AD长度．

Answer 1

分析 （1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥CE，而AE⊥CE，则OC∥AE，根据平行线的性质得∠1=∠3，而∠1=∠2，则∠2=∠3，根据圆周角定理得$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，即可得到DC=BC；
（2）连接BD交BD于H，根据垂径定理得到BH=$\frac{1}{2}$BD=12，根据勾股定理得到OB=$\frac{169}{10}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵CE切⊙O于C，
∴OC⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OC∥AE，
∴∠1=∠3，
而OC=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴DC=BC；
（2）连接BD交BD于H，
∵$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥BD，
∴BH=$\frac{1}{2}$BD=12，
∵BC=CD=13，
∴CH=5，
∵OH²+BH²=OB²，
∴（OB-5）²+12²=OB²，
∴OB=$\frac{169}{10}$，
∴⊙O的半径=$\frac{169}{10}$，
∴AB=$\frac{169}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{119}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．