Question

20．如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H．
（1）如果过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形ANQP，求证：MNQP是菱形．
（2）在（1）的条件下，联结GH交EF于点K，则MEKG是什么四边形？并证明．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形EGFH是矩形，再证明四边形MGKE是菱形，利用可证四边形EKHP，四边形KFQH，四边形KFNG都是菱形，即可推出MN=NQ=PQ=PM，推出四边形MNQP是菱形；
（2）四边形MEKG是菱形．只要证明KE=KG，四边形MEKG是平行四边形即可；

解答 （1）证明：∵GE平分∠AEF，HE平分∠BEF，
∴∠GEH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠GEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠GFE=$\frac{1}{2}$∠CFE，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
同理∠EHF=90°，
∴四边形EGFH是矩形
∴EG=FH，KG=KE，
∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，
∴ME∥GK，∵MG∥EK，
∴四边形MGKE是平行四边形，
∵KE=KG，
∴四边形MGKE是菱形，
同理可证四边形EKHP，四边形KFQH，四边形KFNG都是菱形，
∴MG=GN=NF=FQ=QH=HP=PE=EM，
∴MN=NQ=PQ=PM，
∴四边形MNQP是菱形．

（2）四边形MEKG是菱形．
理由：∵四边形EGFH是矩形
∴EG=FH，KG=KE，
∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，
∴ME∥GK，∵MG∥EK，
∴四边形MGKE是平行四边形，
∵KE=KG，
∴四边形MGKE是菱形．

点评 本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．