Question

10．如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA=$\frac{4}{5}$，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．
（1）当AP=CP时，求QP；
（2）若四边形PMQN为菱形，求CQ；
（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？

Answer 1

分析 （1）根据正弦的概念求出BC，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算即可；
（2）根据菱形的性质得到MQ∥PC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据角平分线的性质得到QM=QN，PM=PN，根据题意得到PB=2PM，得到QM是线段PB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质、相似三角形的判定定理解答．

解答 解：（1）∵AB=10，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴BC=8，
则AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
∵PA=PC．
∴∠PAC=∠PCA，
∵PQ平分∠CPB，
∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A，
∴∠BPQ=∠A，
∴PQ∥AC，
∴PQ⊥BC，又PQ平分∠CPB，
∴∠PCQ=∠PBQ，
∴PB=PC，
∴P是AB的中点，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AC=3；

（2）∵四边形PMQN为菱形，
∴MQ∥PC，
∴∠APC=90°，
∴$\frac{1}{2}$×AB×CP=$\frac{1}{2}$×AC×BC，
则PC=4.8，
由勾股定理得，PB=6.4，
∵MQ∥PC，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BM}{MQ}$=$\frac{BM}{MP}$=$\frac{BQ}{QC}$，即$\frac{6.4}{4.8}$=$\frac{8-CQ}{CQ}$，
解得，CQ=$\frac{24}{7}$；

（3）∵PQ平分∠CPB，QM⊥AB，QN⊥CP，
∴QM=QN，PM=PN，
∴S_△PMQ=S_△PNQ，
∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等，
∴PB=2PM，
∴QM是线段PB的垂直平分线，
∴∠B=∠BPQ，
∴∠B=∠CPQ，
∴△CPQ∽△CBP，
∴$\frac{CP}{BC}$=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{PQ}{BP}$，
∴$\frac{CP}{BC}$=$\frac{BQ}{2BM}$，
∴CP=4×$\frac{BQ}{BM}$=4×$\frac{5}{4}$=5，
∴CQ=$\frac{25}{8}$，
∴BQ=8-$\frac{25}{8}$=$\frac{39}{8}$，
∴BM=$\frac{4}{5}$×$\frac{39}{8}$=$\frac{39}{10}$，
∴AP=AB-PB=AB-2BM=$\frac{11}{5}$．

点评 本题考查的是菱形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的应用，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．