Question

8．如图，以点P（2，0）为圆心，$\sqrt{3}$为半径作圆，点M（a，b） 是⊙P上的一点，设$\frac{b}{a}$=t，则t的取值范围是-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 当$\frac{b}{a}$有最大值时，得出tan∠MOP有最大值，推出当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，根据解直角三角形得出tan∠MOP=$\frac{MP}{OM}$，由勾股定理求出OM，代入即可得出最大值，进而得出最小值，即可得出答案．

解答 解：如图所示：
当$\frac{b}{a}$有最大值时，即tan∠MOP有最大值，
也就是当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，
此时tan∠MOP=$\frac{MP}{OM}$，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OM=$\sqrt{O{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
则tan∠MOP=$\frac{b}{a}$=$\frac{MP}{OM}$=$\sqrt{3}$，
同理可得：当OM在第四象限，则tan∠MOP=$\frac{b}{a}$=-$\sqrt{3}$，
故t的取值范围是：-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$．
故答案为：-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形、勾股定理、坐标与图形性质、切线的性质等知识点，关键是找出符合条件的M的位置，题目比较典型，但是有一定的难度．