Question

13．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，含45°角的直角三角形的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一条直角边与∠MBC的平分线BF交于点F．
（1）如图①，当E为AB的中点，N为AD的中点时，连接EN，猜想：DE与EF的数量关系以及NE与BF的数量，证明你猜想的两个关系；
（2）如图②，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD上找一点N，使得NE=BF，并猜想此时DE与EF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）结论：DE=EF，NE=BF，欲证明DE=EF，NE=BF，只要证明△DNE≌△EBF即可．
（2）在DA上取一点N使得DN=EB，此时NE=BF，DE=EF，证明类似（1）．

解答 解：（1）结论：DE=EF，NE=BF
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∵∠DEF=90°，
∴∠FEB+∠AED=90°，∠ED+∠NDE=90°，
∴∠FEB=∠NDE，
∵AN=ND，AE=EB，
∴AN=AE=DN=EB，
∴∠ANE=45°，∠DNE=135°，
∵FB平分∠MBC，
∴∠MBF=∠CBF=45°，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
在△DNE和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠BEF}\\{DN=EB}\\{∠DNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF，NE=BF
（2）在DA上取一点N使得DN=EB，此时NE=BF，DE=EF，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∵∠DEF=90°，
∴∠FEB+∠AED=90°，∠ED+∠NDE=90°，
∴∠FEB=∠NDE，
∵DN=EB，AD=AB
∴AN=AE，
∴∠ANE=45°，∠DNE=135°，
∵FB平分∠MBC，
∴∠MBF=∠CBF=45°，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=135°，
∴∠DNE=∠EBF
在△DNE和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠BEF}\\{DN=EB}\\{∠DNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF，NE=BF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，添加辅助线创造全等条件，属于中考常考题型．