Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E，某同学分析图形后得出以下结论，上述结论一定正确的是①③④（填代号）．
①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．

Answer 1

分析 由AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，得出各相等的边角，再依据全等三角形的判定定理即可判定五个答案哪个一定成立．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠EBC=∠DCB，
又∵BD平分∠ABC，∠CE平分∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB，
∵∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，∠CDB=180°-∠DCB-∠DBC，
∴∠BEC=∠CDB．
在△EBC和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠DCB}\\{∠BEC=∠CDB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCB（AAS）．
即①成立；
在△BAD和△BCD中，仅有$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠ABD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
不满足全等的条件，
即②不一定成立；
∵△EBC≌△DCB，
∴BD=CE．
在△BDA和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠A=∠A}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDA≌△CEA（SAS）．
即③成立；
∵△BDA≌△CEA，
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴BE=CD．
在△BOE和△COD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠CDO}\\{∠EOB=∠DOC}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COD（AAS）．
即④成立；
在△ACE和△BCE中，仅有$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
不满足全等的条件，
即⑤不一定成立．
综上可知：一定成立的有①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的定义即等腰三角形的性质，解题的关键是找出各边角关系，利用全等三角形的判定定理去寻找全等三角形．本题属于中档题，难度不大，在解决该类题型中，不妨结合图形与已知知识直接判定．