Question

6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 10
• C． 2$\sqrt{26}$
• D． 2$\sqrt{29}$

Answer 1

分析 由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，$\frac{k}{6}$），N（$\frac{k}{6}$，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M（6，$\frac{k}{6}$），N（$\frac{k}{6}$，6），
∴BN=6-$\frac{k}{6}$，BM=6-$\frac{k}{6}$，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6-$\frac{1}{2}$×6×$\frac{k}{6}$-$\frac{1}{2}×$6×$\frac{k}{6}$-$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{k}{6}$）²=10，
∴k=24，
∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，
∵AM=AM′=4，
∴BM′=10，BN=2，
∴NM′=$\sqrt{BM{′}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{26}$，
故选C．

点评 本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称-最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．