Question

6．如图，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D，E，F分别在AC，AB，BC边上，△BEF沿着直线EF翻折后与△DEF重合，若△DFC与△ABC相似，则CD的长为$\frac{6}{5}$或$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 分△DFC∽△ABC和△DFC∽△BAC两种情况讨论，根据相似三角形的性质求出CD的长．

解答 解：设CD=x，
①当△DFC∽△ABC时，∠DFC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CD=x，CF=4-x，
则$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CF}{CB}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{2-x}{4}$，
解得，x=$\frac{6}{5}$；
②当△DFC∽△BAC时，∠FDC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CF=$\frac{1}{2}$BC=2，
则$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CF}{CA}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{2}{6}$，
解得，x=$\frac{4}{3}$，
∴CD的长为$\frac{6}{5}$或$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{6}{5}$或$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．