Question

1．我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
（1）四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，若∠A=70°，∠B=80°，则∠C=130°，∠D=80°．
（2）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求以AB、BC为边在图①、图②中各画一个等对角四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
（3）如图③，在?ABCD中，∠A=60°，AB=5，AD=4，BE⊥DC于点E．点P在射线BE上，设BP=x，求四边形ABPD为等对角四边形时x的值．

Answer 1

分析 （1）由等对角四边形得出∠B=∠D，再由四边形内角和即可求出∠C；
（2）连接BD，由AB=AD，得出∠ABD=∠ADB，证出∠CBD=∠CDB，即可得出CB=CD；
（3）过点D作DH⊥AB于点H，则四边形DHBE为矩形，根据三角函数求出AH和HD，分两种情况进行讨论，①当∠ADP=∠ABP=90°时；②当∠DPB=∠A=60°时，即可得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-70°-80°-80°=130°；
故答案为：130，80；
（2）如图所示，
（3）过点D作DH⊥AB于点H，则四边形DHBE为矩形，
∴DE=BH，BE=DH，
∵∠A=60°，∠DHA=90°，
∴AH=AD•cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
DH=AD•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BE=DH=2$\sqrt{3}$，BH=AB-AH=5-2=3，
∴DE=BH=3，
如图3，当∠ADP=∠ABP=90°时，∠BPD=120°，
∴∠DPE=180°-∠BPD=60°，
又∵∠DEP=90°，
∴PE=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴x=BE-EP=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
如图4，当∠DPB=∠A=60°时，
∵∠P=60°，∠PED=90°，
∴PE=DE•cot60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴BP=BE+PE=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．
综上，当四边形ABPD为等对角四边形时x的值为$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．