Question

4．如图，AB是半径为R的⊙O的直径，P为直径AB上的一动点，过P作弦CD，且∠DPB=45°，则当点P的位置变化时，PC²+PD²的值是否变化？若不变，请求出这个定值？若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 分类讨论（1）P点与O点重合时，PC=PD=R，证得PC²+PD²=2R²；（2）P与O不重合时，连接OD，作OE⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=$\frac{1}{2}$CD，根据勾股定理得到CD²=4R²-2OP²，根据相交弦定理得到PC•PD=R²-OP²，运用完全平方公式计算得到PC²+PD²=2R²．

解答 证明：设⊙O的半径为R，
当点p与O点重合时，PC=PD=R，
∴PC²+PD²=2R²
当点P为一般情况时，
连接OD，作OE⊥CD于E，
则DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD²=4DE²=4（R²-OE²），
∵∠APD=45°，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP，
∴CD²=4DE²=4（R²-$\frac{1}{2}$OP²）=4R²-2OP²，
∵PC•PD=PB•PA=（R-OP）（R+OP）=R²-OP²，
PC²+PD²=（PC+PD）²-2PC•PD
=4R²-2OP²-2（R²-OP²）
=2R²．
∴当点P的位置变化时，PC²+PD²的值不变化，等于圆O的半径的平方．

点评 本题考查了在圆中构建三角形运用勾股定理解直角三角形，本题中求证PC²+PD²=2OC²是解题的关键．