Question

13．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为5．

Answer 1

分析 取CD的中点F′，由菱形的性质可知点F′和F关于AC对称，故PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，PE+PF有最小值，然后求得EF′的长度即可．

解答 解：取CD的中点F′，连接EF′交BD于点P．

∵四边形ABCD为菱形，
∴AP⊥PB，PA=$\frac{1}{2}$AC=4，PB=$\frac{1}{2}$BD=3．
在Rt△ABP中，AB=$\sqrt{A{P}^{2}+P{B}^{2}}$=5．
∵ABCD为菱形，E、F′分别是AD、CD的中点，
∴PF=PF′．
∴PE+PF=PE+PF′．
两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，PE+PF的最小值．
∵EF′=AB，
∴PE+PF的最小值为5．
故答案为：5．

点评 本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题、勾股定理的应用，明确当E、P、F′在一条直线上时PE+PF有最小值是解题的关键．